Jeudi 4 janvier 2007
UTILISER LES PRINCIPALES FORMULES DE MATHEMATIQUE FINANCIERE POUR NEGOCIER EFFICACEMENT AVEC SES PARTENAIRES.
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nom: finances.territoriales - code: finances
INTRODUCTION :
Les collectivités locales sont les principales actrices de l’investissement public en France. Jusqu’alors elles intervenaient en ce domaine soit directement en assumant la maîtrise d’ouvrage des équipements, soit indirectement en confiant à des entreprises privées des délégations de service publics moyennant le droit pour ces dernières de conserver les produits issus de la tarification.
La loi d’habilitation du 2 juillet 2003 dite loi Pagnol et les ordonnances du 17 juin 2004 mettent à leur disposition un nouvel outil appelé contrat de partenariat, plus communément connus sous le nom de Partenariat Public Privé ou PPP.
Ces nouvelles procédures, mais aussi les produits de plus en plus sophistiqués proposés aux collectivités locales en matière de gestion de la dette et de la trésorerie impliquent qu’elles doivent demain encore plus qu’aujourd’hui maîtriser les concepts et outils des mathématiques financières. Ces derniers sont relativement simples d’accès en utilisant un tableur Excel. Cette fiche technique a pour objet de faire le point sur les principaux concepts de base des mathématiques financières et sur les principales formules utiles.
-1- OBJET ET PRINCIPES DES MATHEMATIQUES FINANCIERES.
La nécessaire prise en compte du facteur temps
Les collectivités locales, comme investisseurs agissent sur le très long terme et nouent des relations financières avec leurs partenaires pour des durées souvent longues. Or, l’argent a un coût et bénéficier d’une somme aujourd’hui n’a pas la même valeur que bénéficier d’une somme identique dans 10 ans.
En effet, 3 effets combinées conduisent à une dépréciation de la valeur de l’argent dans le temps. La première explication concerne le risque pris. Ainsi, disposer d’une somme maintenant est plus sécurisant que d’avoir la promesse de recevoir la même somme après-demain.
La 2ème explication concerne l’inflation qui même maîtrisée n’en réduit pas moins le pouvoir d’achat d’une somme d’argent. Si 10.000 euros permettent aujourd’hui d’acquérir un véhicule et si le prix de vente des véhicules augmente comme l’inflation, dans 5 ans les 10.000 euros ne suffiront plus à procéder à cet achat.
La 3ème explication qui intègre pour partie certains éléments de l’explication précédente concerne les produits susceptibles de pouvoir être obtenus en contrepartie de placements financiers. Si quelqu’un dispose aujourd’hui de 10.000 euros et qu’il les investis ou les place sur un compte rémunéré, il bénéficiera dans 5 ans non seulement du capital initial de 10.000 euros mais également des intérêts générés en appliquant le taux du placement, ce qui lui permettra alors d’acheter le véhicule souhaité et même un véhicule d’une gamme supérieure.
Ainsi, une somme perçue demain à moins de valeur qu’une somme perçue aujourd’hui.
De ce postulat découlent les différents outils de mathématiques financières dont les principaux reposent sur 4 piliers :
ü la somme actuellement disponible,
ü le taux du placement ou le taux de l’emprunt,
ü la durée du placement ou de l’emprunt,
ü la somme à verser ou à percevoir dans le futur, soit en une fois, soit en annuité,
Les formules de calcul de mathématique financière ou les fonctions programmées dans Excel permettent de déterminer la valeur manquante dès lors que l’on connaît les 3 autres. Ces outils sont très utiles aux collectivités locales si elles souhaitent parler le même langage que leurs partenaires privés et éviter de se faire flouer dans des négociations relatives à la gestion de la dette ou de la trésorerie, à la négociation de loyer pour un bien immobilier, à la négociation d’un partenariat public-privé ou d’ un contrat de délégation de service public.
-2- CALCUL D’UNE SOMME A PAYER DANS LES ANNEES A VENIR EN CONTREPARTIE D’UNE SOMME DISPONIBLE AUJOURD’HUI.
Dans ce cas de figure, il s’agit de mettre aujourd’hui à la disposition d’une collectivité une certaine somme qui devra être rendue plus tard. Deux hypothèses sont alors possibles, soit la somme est remboursée par fraction annuelle (en annuité), soit elle est remboursée plus tard en une fois.
2.1 Le remboursement en annuité d’une somme empruntée aujourd’hui
(voir onglet « tab.amort.constant »)
2.1.1 calcul de l’annuité.
Lorsqu’une collectivité emprunte, elle connaît le montant qu’elle souhaite emprunter afin de disposer aujourd’hui d’une certaine somme d’argent pour investir. Elle connaît également la durée et le taux de l’emprunt, mais il lui faut calculer ce qu’elle va devoir rembourser dans le futur.
Cette formule mathématique permet aussi de calculer le loyer d’un bien immobilier en fonction du coût de l’investissement, de sa durée de vie et du taux de financement de l’investisseur. La formule Excel à utiliser est la formule VPM. Prenons un exemple avec un emprunt de 1.000.000 d’euros réalisé sur 15 ans au taux de 5% pour lequel l’annuité ainsi calculée s’élèvera à 96.342 euros (dans tous les exemples à suivre, il sera utilisé des nombres entiers)
Annuité = VPM(taux ;durée ;-capital initial)
= VPM(5% ;15 ;-1.000.000)
= 96.342 euros
A l’aide de cette seule et unique formule de calcul, il apparaît tout à fait possible de recomposer le tableau d’amortissement d’un emprunt. En effet, connaissant le capital emprunté, il est possible de calculer le montant des intérêts payés la 1ère année. Comme l’annuité peut être calculée par la formule précédente, on peut en déduire le montant du capital amorti, en retranchant le montant des intérêts, ce qui permet tout de suite après de calculer le capital restant dû au début de l’année suivante. En renouvelant ces opérations successives toutes les années, on peut réaliser le tableau d’amortissement dans son ensemble.
2.1.2 calcul du montant des amortissements pour une année donnée.
Cependant, on peut aussi calculer de façon plus mathématique et moins itérative, le remboursement du capital payé pour une échéance en particulier. La formule Excel « PRINCPER » peut alors être utilisée. Dans l’exemple suivant, on se demandera pour un emprunt de 1.000.000 euros emprunté au taux de 5% sur 15 ans quel sera le montant d’amortissement la 10ème année :
Amortissement d’une échéance particulière
= PRINCPER(taux;n° d’échéance;durée ;-capital initial)
= PRINCPER (5%;10;15;-1.000.000)
= 71.892 euros
2.1.3 calcul du montant des intérêts pour une année donnée.
Une opération identique peut permettre de déterminer le montant des intérêts d’une année donnée en reprenant exactement les mêmes hypothèses que ci dessus. Il s’agit alors d’utiliser la formule « INTPER » :
Intérêts d’une échéance particulière
= INTPER(taux;n° d’échéance;durée ;-capital initial)
= INTPER (5%;10;15;-1.000.000)
= 24.450 euros
2.2 Le calcul de la valeur future d’une somme placée aujourd’hui (onglet « valeur future »)
2.2.1 Placement dans un cadre annuel.
Si une entreprise possède aujourd’hui une somme de 1.000.000 euros, elle peut éventuellement la placer. Compte tenu du taux de placement, il est possible de calculer le montant dont elle disposera dans 10 ans. Pour effectuer ce calcul on peut utiliser soit une formule Excel, soit une formule mathématique faisant intervenir la notion d’exposants.
Si l’entreprise place une somme de 1.000.000 euros pendant 10 ans au taux de 4%, la première année les intérêts seront de 40.000 euros et viendront s’ajouter au capital initial La seconde année le nouveau montant de 1.040.000 euros génèrera un intérêt de 41.600 euros au même taux de placement et ainsi de suite pendant toute la durée de l’épargne. La formule mathématique à utiliser est donc la suivante :
Valeur future = valeur d’origine x (1+taux)durée
= 1.000.000 x (1+4%) 10 (*)
= 1.480.244 euros
Il est également possible d’utiliser une formule Excel en recourant à la fonction valeur future (VC) à condition de ne pas omettre le double point-virgule.
Valeur future = VC(taux;durée;;- valeur d’origine)
= VC (4% ;10 ;;-1000.000)
= 1.480.244 euros
(*) Par convention, dans Excel, l’exposant s’obtient en appuyant sur la touche « Alt Gr » et sur la touche 9
2.2.2 Placement dans un cadre infra-annuel (intérêts simples)
L’exemple précédent était relativement simple puisqu’on prenait pour hypothèse un placement réalisé dans un cadre annuel. Quelle serait le mode de calcul de la valeur future pour un placement mensuel ou même quotidien ?. En préambule, il convient de noter que l’actualisation de flux financiers infra-annuels est toujours plus délicate notamment en raison de l’effet base de calcul. Un autre facteur complique l’opération dans la mesure où les intérêts peuvent être simples ou composés.
A l’issue d’un placement durant 3 mois d’une somme de 1.000.000 euros au taux de 4% (intérêt simple), la collectivité disposera d’une somme de 1.010.000 euros.
Valeur future = 1.000.000 x (1+3/12 x 4%) = 1.010.000 euros
Dans le cas d’intérêts composés, les intérêts sont calculés le 1er mois et viennent s’ajouter au capital pour produire les intérêts du 2ème mois qui viennent également s’ajouter au capital initial pour déterminer le produit financier total qui est un peu plus élevé que dans le cas des intérêts simples.
Pour effectuer ce même calcul sur la base d’un placement journalier on utilise la même logique en décomptant toutefois le nombre de jours sur une base de 360 jours correspondant aux usages du marché monétaire. Ainsi pour un placement d’une durée de 90 jours toujours effectué au taux de 4%, on obtient le résultat suivant.
Valeur future = 1.000.000 x (1+90/360 x 4%) = 1.010.000 euros
Ces différentes formules de calcul sont intéressantes pour les collectivités locales qui peuvent désormais ouvrir des comptes à terme auprès du Trésor Public. Elles peuvent en particulier leur permettre de calculer le produit financier issu du placement et de le mettre en rapport avec les économies souvent plus importantes susceptibles d’être générées par une opération de remboursement par anticipation. Elle peut également leur permettre de négocier avec leur banquier les réfactions d’intérêt que celui ci doit leur consentir en cas de paiement anticipé d’une échéance ou de remboursement provisoire du capital.
2.3 Le calcul de la valeur future d’une même somme placée tous les ans pendant 15 ans
Dans cette hypothèse, une entreprise ou un particulier place chaque année, pendant 15 ans la même somme sur un compte rémunéré à 5%. Il convient donc de calculer le montant qui sera à la disposition de cet épargnant en fin de période. La formule Excel à utiliser est la formule VC.
Par parallélisme avec les exemples précédents, imaginons une société qui place chaque année pendant 15 ans 96.342 euros (annuités d’un emprunt de 1.000.000 euros sur 15 ans au taux de 5%) au taux de 5%. A l’issue des 15 ans, cette société aura récupéré une valeur de 2.078.928 euros.
Valeur future = VC(taux ;durée ;-capital placé)
= VC(5% ;15 ;-96.342)
= 2.078.928 euros
-3- ACTUALISATION : calcul de la valeur actuelle d’une somme perçue dans le futur.
Dans ce cas de figure, le taux d’intérêt, la durée et les valeurs futurs sont connus. En revanche, le montant en euros d’aujourd’hui doit être recherché notamment pour comparer le coût global des loyers ou charges futurs à payer par la collectivité. En effet, comment comparer deux offres proposées pour la signature d’un contrat de partenariat si les 2 entreprises proposent des paiements futurs différents comme dans l’exemple suivant. ?
|
|
En euros courant
|
|
En euros actualisés à 5%
|
||
|
Année
|
prop n°1
|
prop n°2
|
|
prop n°1
|
prop n°2
|
|
1
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
142 857.14
|
76 190.48
|
|
2
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
136 054.42
|
72 562.36
|
|
3
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
129 575.64
|
69 107.01
|
|
4
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
123 405.37
|
65 816.20
|
|
5
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
117 528.92
|
62 682.09
|
|
6
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
111 932.31
|
59 697.23
|
|
7
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
106 602.20
|
56 854.51
|
|
8
|
150 000.00
|
80 000.00
|
|
101 525.90
|
54 147.15
|
|
9
|
20 000.00
|
80 000.00
|
|
12 892.18
|
51 568.71
|
|
10
|
20 000.00
|
80 000.00
|
|
12 278.27
|
49 113.06
|
|
11
|
20 000.00
|
80 000.00
|
|
11 693.59
|
46 774.34
|
|
12
|
20 000.00
|
80 000.00
|
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